浮点数的学习契机是我要搞清楚什么是单精度浮点数，什么是双精度浮点数，一个问题，引发了一系列的深入学习。

一.基础知识

在开始正式学习之前，先聊一下计算机的存储方式，我们都知道，电子计算机的原理就是利用通电、断电(或曰高电平低电平)这两个状态来表示布尔代数中的逻辑真和逻辑假，对应的就是1和0，因此我们说计算机的最小单位是bit（比特/位），能够表示0或者1。

形如下面的样子：

那如何表示形如1.134441的数据呢？于是有了一个标准，也就是IEEE754。

在学习这个标准之前，先简单介绍一下科学计数法，因为这个标准是借助于这种记数方式的。

二.科学计数法

我们在表示一个数的时候，如：327.849，可以用科学计数法来表示：

+3.27849 × 10^2

由三部分组成：

+是符号

10^2中的2是指数

3.27849是有效数

指数部分，根据正负，我们可以知道把327.849向左还是向右移动几个小数点。

三.IEEE754标准-规约形式的浮点数

由于浮点数分为规约形式的浮点数、非规约形式的浮点数、还有特殊值。我们先不考虑非规约形式的浮点数和特殊值，只考虑规约形式的浮点数，下面讲的是规约形式的单精度浮点数（最常用的），最后讲另外两种浮点数。

在维基百科中，对浮点数的表示方法为：

Value（值） = sign（符号位）× exponent（指数）×fraction（分数值/小数）

对应下面这张图片。

上面的图是表示的0.15625(十进制)这个小数，在计算机中存储的样子。

然后我们通过解释这张图来学习IEEE754标准。

因为sign的0代表正，因此它可能是这个样子的

2^n × 1.001011

我们知道，如果n=10，那么小数点向右移动10位，如果n=-10，那么小数点向左移动10位。

但是如果要根据上面的公式计算出图片中的这个值，需要按照一定规则转换（先不用去考虑为何这样的规则，按照规则转换即可，下面介绍）。

sign这个就是符号位，0代表正，1代表负。

exponent = 01111100 = 124(10进制)。但是这个值不能直接带入到2的n次方中使用，因为指数这个值实际上等于指数真正的值加上一个偏移量后，得到的偏移量，来存储的（为什么要加偏移量后面会解释）。比如说，实际指数是17(10进制)，那么存入到磁盘中的值，需要加上偏移量127（10进制），即144（十进制），把这个值转成二进制存入到上面图片的exponent部分。那么根据这个规则我们可以算出实际的指数是124-127=-3(十进制)。

fraction要格外注意，图中01000000000000000000000直接转换为10进制为2097152，这是不对的（而且不能现在转10进制），因为在IEEE754标准中，01000000000000000000000代表的是小数部分：因为所有的数，在使用科学计数法表示的时候，都可以表示为1.xxx × 10的x方，所以上面图片的fraction部分是省略了1的，我们整合起来就是：1.01000000000000000000000。

综合上面的三个部分后，我们知道这个算式应该是：

2^{-3} \times 1.01000000000000000000000 \\

上面我们提到过，根据指数n来移动小数点，因此上面算式的结果等价于：

0.00101000000000000000000000 = 0.00101。

注意！这是二进制，我们把0.00101转成10进制为：0.15625。这就是开头我们说的结果啦。

知识点：

1. exponent 称为“指数的偏移值” ，在中文中，常常称为阶码。
2. 阶码的取值范围？由于阶码由8比特组成，1比特有0或者1，因此理论上可以表示的数字范围最大是：2^8 = 256个数字。但是实际上第一个最高位是代表符号（正负的），因此去掉后的范围是2^7= -127到128之间，但是-127和128这两个有特殊用处（下面会说明），因此“指数的实际值”的取值范围就是-126-127之间。但这不是阶码的范围，阶码是“指数的实际值”+ “固定的偏移值”，因此阶码的范围是1-254。是的，阶码肯定是大于0的。
3. 为什么要有“固定的偏移值”，偏移值的大小是怎么来的？很多地方的解释比较难以理解，实际上它的好处就是上一条的结论，就是偏移值的存在导致阶码肯定是大于0的，换句话讲就是我们可以用正数来表示负的指数。这个带来的好处就是计算机在处理减法运算时有局限性，采用移码的方式，可以实现计算机最舒服的数据格式，即：a - b = a + (-b)，也就是计算机只会作加法。
4. 这个“固定的偏移值”是怎么算出来的？IEEE754规定这个值为：

2^{e-1} -1 \\e代表的exponent的位数，单精度浮点数上图可知，就是8

现在来定义一下规约形式的浮点数：

如果浮点数中的阶码范围在 0 < exponent < 2^e -2 之间，即上面说的[1,254]之间（指的是单精度浮点数哦），并且在科学计数法下，小数部分是以1开头的，级1.xxx。那么这个浮点数被称为规约形式的浮点数。

四.IEEE754标准-非规约形式的浮点数

我们上一章讲过，阶码的范围是[1,254]之间，而非规约形式的浮点数，就是阶码为0时。

上一章提到的-127用作特殊处理了，实际上用在这里了，我们想：-127+固定偏移量127 = 0。反过来讲，因为非规约形式的浮点数的阶码肯定为0，那么0-127 = -127，也就是非规约形式的浮点数的指数永远是-127，这实际是错误的！因为IEEE754规定，非规约形式的浮点数，它的“固定偏移值”是126，因此非规约形式的浮点数的指数的实际值 = -126 和规约形式的浮点数的指数的实际值1一样，都是-126。

我们先说结论，非规约形式的浮点数为：阶码为0，小数部分（fraction）不为0，称为非规约形式的浮点数。

知识点：

1. 非规约形式的浮点数，它的“固定偏移值”不是127二是126。
2. 非规约形式的浮点数，一般是用来表示一个数字非常接近于0时才会使用的。
3. 鉴于上一条，我们有非规约形式的浮点数，一般用于小数是0.xxxx这种情况的小数部分（当然1.xxx也是可以正常使用的，只是我们约定接近于0才用非规约，所以是0.xxx）

第三条是我总结的，因为维基百科上写的晦涩难懂，我读了好多遍后的理解，有误请指出。

五. IEEE754标准-特殊值

1. 如果指数是0并且尾数的小数部分是0，这个数±0（和符号位相关）
2. 如果指数= 255，并且小数部分是0，这个数是正负无穷（和符号位相关）
3. 如果指数 = 255，并且小数部分为非0，这个数是非数（NaN）

六.简单总结

1. 我们上面第三章讲过，-127和128被用作特殊值处理，-127给了非规约形式浮点数，128给了正负无穷和NaN。
2. 我们上面推导的都是单精度浮点数，双精度浮点数的规格可不是这样哦，原理一样，这里不作讲解啦。
3. 一个浮点数实际上是表示了周围的一个有理数区间，不是精确值，而是代表了一个范围。
4. 浮点数的计算公式为：

(-1)^S * 1.M * 2^(E-127)

七.浮点数的分布理解

理解这个的关键就是，理解浮点数的小数点是浮动的。

单精度浮点数的范围就是[1,254]，那么当数字越小时，它可以移动的小数点产生的数字就越多，因此越靠近中间能表示的数字就越多。

参考文章：

维基百科-IEEE754

深入理解浮点数有效位，浮点数分布

知乎-计算机中的浮点数在数轴上分布均匀吗？