浮点数的学习契机是我要搞清楚什么是单精度浮点数，什么是双精度浮点数，一个问题，引发了一系列的深入学习。

一.基础知识

在开始正式学习之前，先聊一下计算机的存储方式，我们都知道，电子计算机的原理就是利用通电、断电(或曰高电平低电平)这两个状态来表示布尔代数中的逻辑真和逻辑假，对应的就是1和0，因此我们说计算机的最小单位是bit（比特/位），能够表示0或者1。

形如下面的样子：

那如何表示形如1.134441的数据呢？于是有了一个标准，也就是IEEE754。

在学习这个标准之前，先简单介绍一下科学计数法，因为这个标准是借助于这种记数方式的。

二.科学计数法

我们在表示一个数的时候，如：327.849，可以用科学计数法来表示：

+3.27849 × 10^2

由三部分组成：

+是符号

10^2中的2是指数

3.27849是有效数

指数部分，根据正负，我们可以知道把327.849向左还是向右移动几个小数点。

三.名次对照

这部分知识名词有点多，因此写了下面的对照表，看不懂的话可以阅读完全部文章后再对照。

名词	解释
sign/符号位	标识正负的符号位，0正，1负
指数/阶码	这两个概念经常被混淆。在本文中，指数指的是真实的指数值，阶码指的是偏移后的指数值。即：指数 + 偏移量 = 阶码
fraction/尾数	fraction和尾数也容易被混淆。在IEEE754标准中，fraction仅仅存入的是小数点右边的值。除了0之外，IEEEE754中有效数是1.xxx 或者0.xxx，fraction存入的部分仅仅是xxx。因此尾数应该指的是完整的有效数。而fraction是去掉了1.或者0.之后的xxx部分。
指数偏移值	为了让指数存入到计算机中的值全部是正数，因此出现了这个偏移量。指数 + 偏移量 = 阶码
特殊值	正/负无穷，非数值（NaN）

四.IEEE754标准

名词	解释
规约形式的浮点数	尾数是1.xxx
非规约形式的浮点数	尾数是0.xx，一般表示极小的浮点数，为了处理突然式下溢出
正负零	阶码是0，指数是-127，尾数是0
特殊值	正/负无穷，非数值（NaN）

五.IEEE754标准-规约形式的浮点数

由于浮点数分为规约形式的浮点数、非规约形式的浮点数、零和特殊值。我们先不考虑非规约形式的浮点数和零和特殊值，只考虑规约形式的浮点数，下面讲的是规约形式的单精度浮点数（最常用的）。

在维基百科中，对浮点数的表示方法为：

Value（值） = sign（符号位）× exponent（阶码）×fraction（分数值/小数）

对应下面这张图片。

上面的图是表示的0.15625(十进制)这个小数，在计算机中存储的样子。

然后我们通过解释这张图来学习IEEE754标准。

sign这个就是符号位，0代表正，1代表负。上图等价于下面的式子

+2^{01111100}×1.01000000000000000000000 （因为是2进制，所以是2的n次方而不是10的；二进制的有效数只要不是0，那么肯定是以1开头的数，而且规约形式的浮点是定义为1开头的）

我们知道，如果n是正，那么小数点向右移动n位，如果n为负，那么小数点向左移动n位。

01111100(二进制阶码) = 124(10进制阶码)。但是这个值不能直接带入到2的n次方中使用，因为指数这个值实际上等于指数真正的值加上一个偏移量后，得到的阶码值，来存储的（为什么要加偏移量后面会解释）。

比如说，实际指数是17(10进制)，那么存入到磁盘中的值，需要加上偏移量127（10进制），即144（十进制阶码），把这个值转成二进制存入到上面图片的exponent部分。

那么根据这个规则我们可以算出实际的指数是124（阶码）-127（偏移量）=-3(真实的指数)。

fraction要格外注意，图中01000000000000000000000直接转换为10进制为2097152，在移动小数点的时候不能使用十进制，而需要用二进制去移动，因为在IEEE754标准中，针对的是二进制的数。

另外，所有的非0有效数，都可以表示为1.xxx × 2的n方，所以为了节省存储，上面图片的fraction部分是省略了1的，我们整合起来就是：1.01000000000000000000000。

综合上面的三个部分后，我们知道这个算式应该是：

2^{−3} ×1.01000000000000000000000

上面我们提到过，根据指数n来移动小数点，因此上面算式的结果等价于：

0.00101000000000000000000000 = 0.00101。

注意！这是二进制，我们把0.00101转成10进制为：0.15625。这就是开头我们说的结果啦。

知识点：

1. exponent 称为“指数的偏移后的值”，在中文中，常常称为阶码。
2. 阶码的取值范围？由于阶码由8比特组成，1比特有0或者1，因此理论上可以表示的数字范围最大是：2^8 = 256个数字。但是实际上第一个最高位是代表符号（正负的），因此去掉后的范围是2^7= -127到128之间，但是-127和128这两个有特殊用处（下面会说明），因此“指数的实际值”的取值范围就是-126-127之间。但这不是阶码的范围，阶码是“指数的实际值”+ “固定的偏移值”，因此阶码的范围是1-254，是的，阶码肯定是大于0的（这种移码表示的指数部分，中文称作阶码）。
3. 为什么要有“固定的偏移值”，偏移值的大小是怎么来的？很多地方的解释比较难以理解，实际上它的好处就是上一条的结论，就是偏移值的存在导致阶码肯定是大于0的，换句话讲就是我们可以用正数来表示负的指数。这个带来的好处就是计算机在处理减法运算时有局限性，采用移码的方式，可以实现计算机最舒服的数据格式，即：a - b = a + (-b)，也就是计算机只会作加法。

4. 这个“固定的偏移值”是怎么算出来的？IEEE754规定这个值为：

   2^{(e−1)} −1 其中e代表的exponent的位数，单精度浮点数上图可知，就是8

现在来定义一下规约形式的浮点数：

如果浮点数中的阶码范围在 0 < exponent < 2^e -2 之间，即上面说的[1,254]之间（指的是单精度浮点数哦），并且在科学计数法下，小数部分是以1开头的，即1.xxx。那么这个浮点数被称为规约形式的浮点数。

六.IEEE754标准-非规约形式的浮点数

如果浮点数的指数部分的阶码是0，小数部分非零，那么这个浮点数将被称为非规约形式的浮点数。一般是某个数字相当接近零时才会使用非规约型式来表示。

非规约形式的浮点数，指数偏移值比规约形式浮点数少1，即126。

因此非规约形式的浮点数的指数真实值是-126（阶码0），和规约形式的浮点数阶码1（指数真实值-126）相等。但是两者的尾数不同，一个0.xxx，一个1.xxx

为何非规约形式的浮点数的偏移值是-126而不是127？没有深入去了解，可能是为了和规约浮点数的数间距保持一致？都是2^{-126}，也就是实现渐进式下溢出。

知识点：

1. 非规约形式的浮点数，它的“固定偏移值”不是127而是126。
2. 非规约形式的浮点数，一般是用来表示一个数字非常接近于0时才会使用的。
3. 鉴于上一条，我们有非规约形式的浮点数，一般用于小数是0.xxxx这种情况的小数部分（当然1.xxx也是可以正常使用的，只是我们约定接近于0才用非规约，所以是0.xxx）

七. IEEE754标准-特殊值

特殊值指的是正负无穷和非数（NaN）

1. 如果阶码全是1=255（真实指数是128），并且小数部分是0，这个数是正负无穷（和符号位相关）
2. 如果阶码全是1=255（真实指数是128），并且小数部分为非0，这个数是非数（NaN）

八.正负零

如果阶码是0（真实的指数是-127）并且尾数的小数部分是0，这个数±0（和符号位相关）

九.简单总结

1. 我们上面第三章讲过，-127和128被用作特殊值处理，-127给了0，128给了正负无穷和NaN。
2. 我们上面推导的都是单精度浮点数，双精度浮点数的规格可不是这样哦，原理一样，这里不作讲解啦。
3. 一个浮点数实际上是表示了周围的一个有理数区间，不是精确值，而是代表了一个范围。
4. 浮点数的计算公式为：(-1)^S * 1.M * 2^(E-127)

十.浮点数的分布理解

理解这个的关键就是，理解浮点数的小数点是浮动的，浮点数不是一个点，而是代表了一个范围。

单精度浮点数的指数范围就是[-127,128]，那么当数字绝对值越小时，它可以移动的小数点产生的数字就越多，因此越靠近中间能表示的数字就越多。

参考文章：

维基百科-IEEE754

深入理解浮点数有效位，浮点数分布

知乎-计算机中的浮点数在数轴上分布均匀吗？